[전공선택] 현대물리학 리뷰

2-2에 전공선택과목으로 현대물리학을 들었다.

기존에 물리학에 대한 호기심이 컸기에, 강의에 대한 만족도가 매우 높았다.

저번 학기처럼 한 문단으로 요약하기에는 대부분의 강의가 양이 많고, 아깝다는 생각이 들어서 따로 정리한다. Modern Physics for Scientist and Engineers (S. T. Thornton and A. Rex)의 강의자료의 내용을 사용했다.

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현대물리학은 상대론과 양자론을 두 개의 근간으로 두고 있는 학문이다.

비교적 최근에 대두된 학문인데, 고전물리학을 통해 잘 설명하고 있는 내용들에 점점 문제가 생기면서 파생되었다.

그런 문제는 ①전자기파의 전파매질은 무엇인가 ② 기준계를 바꾸면 전하이동이 달라지는데, 이 때 기존에 없던 자기력이 발생함 ③ 흑체 복사 해석 불가 등이 있다.

또한 X-rays, 전자, 방사능, zeeman effect 등 추가적인 발견으로 인해 원자내부에 대한 추가적 이론도 요구되었다.

이러한 배경에서 현대물리학이 태어난다.

 

 

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Ch2 Special Theory of Relativity (특수상대성 이론)

 

 

이는 시간과 공간에 대한 논의에서 출발한다.

기존에 고전역학에서는 Galilean transforation을 사용해 현상을 서술했다.

여기서 어떤 좌표계든 상대적 위치 차는 존재하나 시간은 같다. 즉  t= t'이고 시간불변(time invariant)이다.

이는 관성기준계(inertial frame)으로 불리고 뉴턴의 운동법칙은 모든 관성기준계에서 성립한다.

허나 이러한 관성기준계를 전자기학에 도입했더니, Maxwell 방정식이 동일하게 성립되지 않았다.

아인슈타인은 그러한 이유를 고민하다가, Galilean transformation이 가정한 '시간은 기준계에 상관없이 동일하다'는 전제가 잘못됐음을 알아낸다. 시간과 공간이 긴밀하게 연결되어 있다는 것을 바탕으로 특수상대성 이론이 등장한다.

이제는 새로운 시간-공간 관계인 Lorentz Transforation을 사용한다.

특수상대성 이론은 모든 관성계에서 빛의 속도가 일정해야하고, 물리학의 법칙은 항상 동일해야한다. 각 관성계에서 동일한 빛의 속도를 관측하려면, 각 좌표계에서의 길이와 시간은 다른 좌표계와 달라지게 된다. 이게 시간지연과 길이수축이다.

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Ch3 The Experimental Basis of Quantum Theory(양자론의 실험적 토대)

 

전자- 음극선 실험 및 다양한 실험을 통해 전자의 전하량을 구했다. 이 값은 기본전하량의 정수배이다.

 

X-ray - 음극선 실험 중 발견. 전하가 없고 투과성 좋은 ray.. 왜 X-ray가 생성되지? 전자 구성하는 무언가와 관련있나?

 

Line Spectrum - 원자 특성을 연구하다가, gas에서 나오는 빛을 분광기로 봤을 때 특정 파장의 빛만 나온다는 것을 확인하게 된다. Line Spectrum은 특정한 규칙가진다.. 원자 내부구조가 존재하는가?

Blackbody Radiation(흑체 복사) - 평형상태이면서 에너지를 방출하는 상태로, 고전역학으로 흑체복사의 Power Spectrum을 설명할 수 없다.  흑체가 진동자로 이뤄져있을 때, 즉 에너지 양자화를 통해 해결할 수 있다.

 

광전효과 - 빛을 파장으로 생각할 경우 해결할 수 없다. 빛을 에너지를 가진 입자로 해석해야한다.

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Ch4 Structure of the Atom(원자의 구조)

 

원자의 구조는 톰슨의 푸딩모형 가설에서 시작된다.

푸딩은 양전하이고 plum은 전자인데, 이러한 구조에서 충돌이 발생하면 전자는 아주 적은 폭으로 꺾이게 된다.

하지만 현실에서는 거의 반대방향으로도 꺾이므로, 러더퍼드의 원자모델이 등장한다.

핵에 양전하가 모두 모여 있는 형태인데, 행성과 같은 모습이다.

이 모델에 다르면 전자는 동일한 궤도를 계속 회전한다. 고전적인 E&M therory에 따르면 전하가 가속되면 에너지가 방출되어야한다. 따라서 회전하는 반지름은 낮아져야한다. 그러므로 이렇게 안정적일 수는 없다.

따라서 새로운 원자모형인 보어모델이 제안된다. 이는 양자역학에 입각하여 안정적인 상태를 규정하고, 전자는 에너지의 방출 또는 흡수에 따라 양자화된 에너지 준위값을 갖게 된다.

하지만 보어모델도 한계를 갖고 있는데, 일단 single-elctron atoms(단전자 원자)에만 적용이 된다.

그리고 gas 주변에 자기장이 존재하거나, 흡·발광 line이 쪼개지는 fine structure를 고려하지 못한다.

따라서 최근에는 확률을 사용하는 구름형태의 모델을 사용하고 있다. 이는 후술할 슈뢰딩거 파동방정식과 관련이 있다.

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Ch5 Wave Properties of Matter and Quantum Mechanics(물질파의 특징과 양자역학)

 

왼쪽은 X-ray Scattering, 오른쪽은 Electron Scattering

왼쪽 그림은 파동인 X-ray의 산란이다. 질량을 가지는 입자도 이와 같은 파동적 성질을 가진다. 이는 De Broglie wave, 즉 물질파로 불린다. 오른쪽 그림은 electron scattering 실험으로, 전자 역시 X-ray와 같은 파동성이 있음이 보여진다.

그렇다면 이러한 파동은 무엇일까? 파동(Wave)은 파형이 시간이 지났을 때 다시 반복되는 것이다. x(위치)와 t(시간)이 하나의 변수로 묶여서 위상을 결정하는데 다음과 같은 파동방정식을 통해 기술될 수 있다.

파동방정식을 풀어서 그 해를 sin파로 나타내는데, 파동이 중첩되면 wave packet이 생긴다. 이는 envolope function(봉지함수)이라고 불린다. 이 함수를 계산하면 두개의 사인파의 곱으로 나타나는데, 천천히 변하는 사인파와 빠르게 변하는 사인파의 곱은 다음과 같은 개형을 보인다. 마치 봉지에 들어간 것처럼 파형이 제한된 모습이 그려진다.

이러한 wave packet 중 Gaussian Wave Packet은 제곱을 적분한 값이 1인 함수로, 확률적인 의미를 내포한다.

자연계에서 파수 Δk와 폭 Δx 의 곱은 최소 1/2인데, 이는 위치와 운동량을 동시에 알 수 없는 불확정성 원리와 관련이 있다. 가우시안 wave packet의 case인 1/2은 가장 적은 불확실성으로 값을 구할 수 있는 최적의 case이다.

가우시안 wave packet

전자빔은 대표적 입자인데, 이제 사실상 입자와 파동의 구별은 불가능하다고 볼 수 있다.

이제 electron double slit 실험으로 두 슬릿 중 어디에 전자가 들어가는 지 확인하려고 하는데, 문제가 있다.

측정을 위해 빛을 쏘면 광자의 모멘텀이 전자보다 크므로, 전자가 흐트러져서 그 위치를 제대로 측정할 수 없다. 여기서 하이젠베르크의 불확정성 원리가 등장한다. 이제는 실험을 통해서도 의미 있는 값을 얻을 수가 없다. 고전역학과 달리, 여러가지 Physical Observable은 실제로 측정해야만 의미를 갖는 것이다.

이러한 상황에서 Wave function을 그 입자를 특정 위치, 시간에 발견할 확률로 이해하는 관점이 등장한다. 이 관점이 바로 보어의 '코펜하겐 해석'이다.

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Ch6 Quantum Mechanics 2(양자역학)

 

정신을 혼미하게 만드는 위 식은 3차원에서의 슈뢰딩거 방정식이다. 양자역학의 특성을 결정하는 가장 중요한 요소는 V, 즉 포텐셜 함수이다. 위 식은 아주 복잡하지만 차원을 x에 대한 1차원으로 바꾸고, 포텐셜 함수를 time-dependant 함수로 가정하면 조금 간단해진다. 포텐셜 함수에 따라 파동방정식의 해를 구해보자.

①Infinite Square-Well Potential

포텐셜 함수

퍼텐셜값이 무한이 되어서 함수가 존재할 수 없는 region이 존재한다.

경곗값에서 계산을 마치면 x : 0~L에서 다음과 같은 normalized wave function의 해가 나타난다.

②Finite Square-Well Potential

region 1, region 3에서는 각각 점점 증가하고 감소하는 exponential 함수가 나타난다. 이를 통해 함수제곱의 적분이 범위내에서 유한한 값(1)을 가짐을 알 수 있다.

③ Simple Harmonic Oscillator : Parabolic Potential Well

이 포텐셜 함수는 상당히 익숙하게 생겼는데, 탄성 에너지와 같은 모습이다. 현실에서의 많은 퍼텐셜 함수는 taylor expansion을 통해 이러한 이차함수형태로 근사할 수 있다. 특이한 점은 지금까지와 달리 time-invariant한 함수라는 것이다. 해는 다음과 같다. H함수는 n차 Hermite polynomials이다.

④ Barriers

region3에서 G=0이다.(-x방향으로 진행하는 wave 성분이 없으므로)

고전역학에 따르면 이 경우 입자의 에너지가 potential 장벽보다 크므로 에너지는 100%통과된다. 단지 region 2에서 속도가 저하될 뿐이다. 하지만 양자역학에서는 에너지가 100% 통과되지 못한다.

 

⑤Tunneling

왼쪽 그림은 고전역학의 결과로, 실제로는 입자의 에너지가 potential 장벽보다 작아도 에너지가 일부 통과한다. region 1과 region3는 barrier와 동일한 함수이다.

 

⑥Potential Well

고전역학에서는 이 경우 well 지날 때 속도가 증가하며, 입자가 100% 통과하는 것은 자명하다.

허나 양자역학에서는 potential이 변하는 영역만 있어도 파동의 반사, 투과가 발생한다. 따라서 100% 통과하지 않는다.

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Ch7 The Hydrogen Atom (수소원자)

 

수소원자를 슈뢰딩거 방정식으로 논의하는 챕터이다.

전자의 쿨롱법칙을 통해 다음과 같은 퍼텐셜 함수가 유도된다.

이번 챕터에서는 더욱 어지러운 방정식 및 유도가 훨씬 많은데 과감히 생략한다..

일단 r이 도입된 이상 구좌표계를 사용해서 슈뢰딩거 방정식을 정의한다. 이 때 좌표계의 변환에 따라 형태가 많이 변한다. r, θ, Φ에 대한 함수로 슈뢰딩거 방정식이 표현된다. 여기서 식을 변환하고, 복잡한 식은 치환하는 과정을 여러번 아주 여러번 거치면 r에 대한, θ에 대한, Φ에 대한 3개의 방정식으로 분리된다.

이름은 radial equation, angular equation, azimuthal equation이다.

이러한 방정식들과 quantum number인 n, l, ml이 관련이 있는데, 이러한 값들을 통해 수소 원자에서 에너지가 존재할 수 있는 준위, 전자가 이동할 수 있는 제약조건 등이 결정된다.

이러한 것들을 통해 수소원자의 fine structure를 나타내고 구조를 이해할 수 있다.

 

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이 리뷰는 현대물리학에 대해 이해하고 쓴 글은 아니다. 만일 어느 분야를 이해했다면, 더욱 짧게 설명할 수 있을 것이다.

또한 이렇게 너저분하게 글이 적히지도 않았을 것이다. 글이 생각의 표현이듯, 내 머리속에도 현대물리학은 이정도로 널부러져 있다. 그러니 이 내용은 전반적인 내용을 그릴 수 있는 용도로만 사용되야 할 것이다.

틀린 내용에도 봐주셔서 감사합니다.