[전공필수] 신호 및 시스템 리뷰

신호 및 시스템 과목에서는 푸리에, 라플라스 변환의 활용적인 측면을 배운다.

이전에 배운 공업수학과 연계되며, 이는 통신관련 과목으로 이어진다.

 

특정 목적을 위해 신호를 시스템에 대입해 다른 신호로 변환한다.

그러한 과정을 알아보는 과목이다.

과목 introduction에 나온 이 사진 하나가 이 과목 전체를 포괄하는 것 같다

 

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기본적으로 공업수학에서 배운 복소수가 아주 많이 사용된다.

일단 신호는 CT(continous-time)와 DT(discrete-time) 신호로 나뉜다.

전자는 현실에 존재하며, 시간에 따라 무한한 값이 존재하므로 컴퓨터가 사용할 수 없다.

후자는 현실에는 없지만, 주로 가공된 값으로 컴퓨터가 여러 계산을 위해 사용할 수 있다.

왼쪽 CT 오른쪽 DT

현실의 CT를 DT로 변환하고, DT를 통해 컴퓨터에서 정보를 사용한 뒤, 다시 DT를 CT로 변환해 유의미한 값을 제공한다. 또한 CT를 CT로, DT를 DT로도 변환한다.

이렇게 신호를 변환하거나, 입력을 특정과정을 거쳐 출력으로 바꿔주는 것이 System이다.

CT system은, 자연이 Derivative Rules를 따르기 때문에 대부분의 시스템이 미분방정식으로 표현이 가능하다.

미분방정식을 직접 풀기 어렵기 때문에, 새로운 수학적 Tool이 도입된다.

 

①Frequency Response를 사용한 Fouier Transform

②Transfer Function을 사용한 Laplace Trnasform

③Convolution

 

DT system은 미분방정식이 아닌 차분(via) 방정식으로 표현한다.

미분방정식보다 더 풀기 어려운데, Convolution Sum을 사용해서 문제를 푼다.

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System 특징

System 특징으로는 여러 성질이 존재한다.

①Linearity는 중첩의 원리를 만족시키는 특징으로, R L C 포함하는 회로에서는 이 조건이 만족된다.

②Time-Invariant는 입력인 x(t)가 x(t-t0)가 되면 y(t)도 y(t-t0)가 되는 성질이다.

③Causality는 현재의 출력은 이전과 현재의 input과 output에 의존하는 성질이다. (의미있는 input 있어야 의미있는 output)

④Memoryless는 output이 그 시점의 input에만 의존하는 특징이다. (이전의 input X)

 

신호와 시스템 과목에서는 Linearity와 Time-Invariant가 만족되는 LTI System에서 문제를 해결한다.

 

DT Convolution

다음과 같이 input으로 impulse 함수가 들어가면 output은 impulse response인 h[n]이 출력된다.

impulse response는 LTI System을 유니크하게 결정하므로, 다음과 같이 입력에 따른 출력을 구하면 된다.

이러한 과정을 DT Convolution이라고 한다.

이 원리는 LTI 특징 덕분인데, 다음 그림과 같은 과정을 통해 가능하다.

DT convolution은 반복되는 식으로 해결할 수 있는 계산이 있고, 그래프를 통해 해결 가능한 계산이 있다.

그래프 문제의 경우 각 i에서의 x[i] (input)와 h[n-i] (impulse response)의 곱을 모두 더해서 계산한다.

CT Convolution

CT의 경우 DT와 달리 시간에 연속적인 특징을 가진다.

따라서 convolution 식에서 ∑가 아닌 ∫을 사용한다.

Convolution의 경우 마찬가지로 analytically한 impulse response 함수로 계산할 수도 있다.

그래프를 통해 푸는 것은 공업수학에서 배운 convolution과 정확히 일치하는 계산이다.

 

CT-to-DT Convolution (Sampling)

 

이는 CT와 DT의 연결점으로, 컴퓨터에서의 계산을 위해 Discrete한 정보로 바꿔주는 과정이다.

여기서 중요한 점은 Sampling이 Valid해야된다는 것이다. 이는 Sample 과정에서 손실이 있음에도 불구하고 ^x(t)를 사용해 x(t)를 다시 찾아올 수 있어야함을 의미한다.

이러한 perfect reconstruction을 위한 조건 3가지가 있다.

 

①Bandlimited (주파수 대역 내에서 0~BHz에서만 값이 있어야한다)

②Uniform Sampling (샘플링 주파수 Fs Hz)

③Mimimum Sampling Rate : Fs >= 2B

 

이러한 조건을 어기면 Under Sampling의 부작용으로 Spectral Aliasing이 발생한다.

한 주기내 값만 표현되지 못하고, 겹쳐서 변형되는 것이다.

이 그림은 Fs >= 2B가 아닌, 충분히 Sampling을 하지 않아서 발생한 문제이다.

그리고 이 그림은 Bandlimited가 아닌 경우인데, 대부분의 자연에서 오는 신호는 Bandlimited가 아니다.

따라서 우리가 임의로 신호를 끊기 위한 Anti-Aliasing Filter(LPF/low pass filter)를 사용해야한다.

 

FT-LT

 

Laplace Transform은 CT Fouier Transform의 일반화이다.

라플라스 변환에서는 s-plane을 사용한다. s의 집합은 ROC(Region of Convergence)라고 부른다.

Re{s}의 위치에 따라 Fourier Transform이 안되는 경우가 있다.

Re{s} > -b 일 때가 그렇고, Laplace Transform으로 문제를 해결해야한다. 

 

Fourier 변환에 Frequency Response가 있다면, Laplace 변환에는 Transfer Function (전달함수) H(s)가 있다.

 

Inverse Laplace Transform

 

s-domain인 X(s) 에서, X(s)가 s에 대한 식으로 나타나진다.

이를 Partial fraction expansion을 사용하여 Rational Function (유리 함수) 형태로 변경한다.

그 형태는 LT table을 사용해 쉽게 t에 대한 함수로 나타 낼 수 있다.

 

CTFT, DTFT, DFT

DFT는 컴퓨터가 계산할 수 있는 형태이다.

이를 만들기 위해 CTFT를 DTFT로 만들어야한다.

이 과정은 normalized 하는 것과 같다.

Sampling 이므로 도중에 신호가 왜곡되지 않아야하며, 여러가지를 고려해야한다.

발생되는 오류는 다음과 같다.

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신호와 시스템 과목은 비슷한 내용을 계속 반복하므로, 각 경우 어떤 것이 다른지를 생각하지 않으면 헷갈릴 수 있겠다.

어렵다기보다는 헷갈린다.

이 과목 역시 마찬가지로, 마지막에 배우는 CTFT-DTFT-DFT의 관계 속 안에 거의 과목의 모든 내용이 담겨있다.